Les contre-exemples en mathématiques est la coqueluche des étudiants préparant le Capes ou l’agrégation depuis plus de trente ans. La première édition est parue en mars 1988 aux Éditions Ellipses ; elle est suivie d’une seconde, très largement augmentée et dans laquelle sont apparues des références historiques.
Comme le titre l’indique, cet ouvrage est un recueil de contre-exemples touchant tous les domaines des mathématiques enseignés en classes préparatoires et en licence de maths. Très didactique, chaque contre-exemple est placé dans son contexte et les théorèmes mis en défaut sont énoncés, sans démonstration toutefois.
La notion de contre-exemple est vue au sens large ; tantôt il est là pour justifier que chaque hypothèse d’un théorème ou chaque point d’une définition axiomatique est nécessaire, tantôt pour démonter une conjecture longtemps supposée, et parfois aussi pour déjouer l’intuition.
Certains sont simples et accessibles à un large public, d’autres sont plus techniques, mais tous sont expliqués avec soin. On y trouve certains exemples fameux : une fonction continue dérivable nulle part, la continuité de la courbe de von Koch (dont les démonstrations sont parfois éludées dans les cours).
Si nombre de ces contre-exemples se retrouvent éparpillés dans la littérature mathématique, d’autres sont directement issus de la création de l’auteur. Utilitaire pour les étudiants, cet ouvrage peut plus largement ravir un public de matheux à la recherche du surprenant, de l’improbable dans leur discipline préférée.
